Ёмкостное сопротивление: конденсатора в цепи переменного тока, формула

Формулы емкости конденсаторов

Для любого конденсатора справедлива формула:

[C=frac{q}{U}=frac{q}{{varphi }_1-{varphi }_2} qquad(1)]

где C – емкость конденсатора; q – величина заряда одной из обкладок конденсатора; U={varphi }_1-{varphi }_2
– разность потенциалов между его обкладками.

Емкость конденсатора, между пластинами которого находится диэлектрик (C) (диэлектрическая проницаемость которого равна varepsilon)
в varepsilon раз больше, чем емкость такого же воздушного конденсатора (C_0
):

[C=varepsilon C_0 qquad(2)]

Для расчета емкости плоского конденсатора применяют формулу:

[C=frac{varepsilon {varepsilon }_0S}{d} qquad(3)]

где {varepsilon }_0
– электрическая постоянная; S – площадь каждой (или наименьшей) пластины; d – расстояние между пластинами.

Емкость плоского конденсатора, содержащего N слоев диэлектрика (толщина i-го слоя равна d_i), диэлектрическая проницаемость i-го слоя {varepsilon }_i, определяется как:

[C=frac{{varepsilon }_0S}{sum^N_{i=1}{frac{d_i}{{varepsilon }_i}}} qquad(4)]

Электрическая емкость цилиндрического конденсатора вычисляют как:

[C=frac{2pi varepsilon {varepsilon }_0l}{lnleft(frac{R_2}{R_1}right)} qquad(5)]

где l – высота цилиндров; R_2 – радиус внешней обкладки; R_1 – радиус внутренней обкладки.

Емкость сферического (шарового) конденсатора находят по формуле:

[C=frac{4pi varepsilon {varepsilon }_0R_1R_2}{R_2-R_1} qquad(6)]

где R_1{; R}_2 – радиусы обкладок конденсатора.

Что такое конденсатор?

Конденсатор состоит из двух проводящих пластин, расположенных очень близко друг к другу и разделённых диэлектриком. Применение постоянного напряжения к пластинам вызовет протекание тока и появление на обеих крышках одинаковых по модулю, но противоположных по знаку зарядов: отрицательных – на одной и положительных – на другой. Отключение источника питания приведёт к тому, что заряд не исчезнет моментально, игнорируя явление его постепенной утечки. Затем, если крышки детали подключены к какой-то нагрузке, например, к вспышке, конденсатор разрядится сам и вернёт всю накопленную в нём энергию во вспышку.


Обозначение конденсаторов

Конденсаторы – это пассивные компоненты, которые хранят электрический заряд. Эта простая функция применяется в различных случаях:

  • При переменном токе.
  • При постоянном токе.
  • В аналоговых сетях.
  • В цифровых цепях.

Примеры использования приборов: системы синхронизации, формирование сигнала, связь, фильтрация и сглаживание сигнала, настройка телевизоров и радиоприёмников.

Удельная ёмкость конденсаторов

Конденсаторы также характеризуются удельной ёмкостью – отношением ёмкости к объёму(или массе) диэлектрика. Максимальное значение удельной ёмкости достигается при минимальной толщине диэлектрика, однако при этом уменьшается его напряжение пробоя.

Применение на практике

Свойства конденсатора используются при конструировании различных фильтров. Действие ёмкостного сопротивления в этом случае зависит от способа подключения детали:

  1. Если он присоединён параллельно нагрузке, то получится фильтр, задерживающий высокие частоты. С их ростом падает сопротивление конденсатора. Соответственно, нагрузка на высоких частотах шунтируется сильнее, чем на низких.
  2. Если деталь подключена последовательно с нагрузкой, то получится фильтр, задерживающий низкие частоты. Эта схема также не пропускает постоянное напряжение.
  3. Ещё одна область применения — отделение переменной составляющей от постоянной. Например, в оконечных каскадах усилителей звуковой частоты. Чем выше ёмкость, тем более низкую частоту способен воспроизвести подключённый громкоговоритель.

В фильтрах электропитания, наряду с ёмкостным сопротивлением, используется также свойство накопления и отдачи заряда. В момент повышения нагрузки заряженная ёмкость фильтра разряжается, отдавая дополнительную энергию. Она также осуществляет подавление пульсаций и прочих паразитных сигналов, пропуская их через себя и замыкая на общий провод. Таким образом, обеспечивается сглаживание и поддержание напряжения на нагрузке в заданных пределах, и устранение нежелательных междукаскадных связей, вызывающих нестабильную работу.

Формула сопротивления

Измерение сопротивления конденсаторов.

Формулы для расчета емкости соединения конденсаторов

При параллельном соединении конденсаторов суммарная емкость батареи (C) равна сумме емкостей отдельных конденсаторов (C_i
), ее составляющих:

[C=sum{C_i} qquad (7)]

Электрическая емкость последовательного соединения конденсаторов может быть вычислена по формуле:

[frac{1}{C}=sum^N_{i=1}{frac{1}{C_i}} qquad(8)]

Если последовательно соединены N конденсаторов, с емкостями C_1
то емкость батареи вычислим как:

[C=frac{1}{N}C_1 qquad(9)]

Формула заряда конденсатора

Для выполнения зарядки, конденсатор должен быть подключен к цепи постоянного тока. С этой целью может использоваться генератор. У каждого генератора имеется внутреннее сопротивление. При замыкании цепи происходит зарядка конденсатора. Между его обкладками появляется напряжение, равное электродвижущей силе генератора: Uc = E.

77939896.jpg

Обкладка, подключенная к положительному полюсу генератора, заряжается положительно (+q), а другая обкладка получает равнозначный заряд с отрицательной величиной (- q). Величина заряда q находится в прямой пропорциональной зависимости с емкостью конденсатора С и напряжением на обкладках Uc. Эта зависимость выражается формулой: q = C x Uc.

В процессе зарядки одна из обкладок конденсатора приобретает, а другая теряет определенное количество электронов. Они переносятся по внешней цепи под влиянием электродвижущей силы генератора. Такое перемещение является электрическим током, известным еще как зарядный емкостной ток (Iзар).

Течение зарядного тока в цепи происходит практически за тысячные доли секунды, до того момента, пока напряжение конденсатора не станет равным электродвижущей силе генератора. Напряжение увеличивается плавно, а потом постепенно замедляется. Далее значение напряжения конденсатора будет постоянным. Во время зарядки по цепи течет зарядный ток. В самом начале он достигает максимальной величины, так как напряжение конденсатора имеет нулевое значение. Согласно закона Ома Iзар = Е/Ri, поскольку к сопротивлению Ri приложена вся ЭДС генератора.

Формула емкости цилиндрического конденсатора

Теперь поговорим о том, как найти емкость конденсатора цилиндрической формы. К ним относятся конденсаторы, состоящие из двух металлических цилиндров, вставленных один в другой. Для разделения между ними расположен диэлектрик. Формула емкости конденсатора выглядит следующим образом:

формула емкости цилиндрического конденсатора

Здесь видим несколько новых переменных:

  • l – высота цилиндра;
  • R1 и R2 – радиус первого и второго (внешнего) цилиндров;
  • ln – это не переменная, а математический символ натурального логарифма. На некоторых калькуляторах он имеется.

Всегда нужно помнить, что все величины должны приводиться к единой системе, в приведенной ниже таблице указаны международные системы единиц (СИ).

международные системы единиц (СИ)

Из нее видно, что все расстояния нужно приводить к метру.

Формулы для расчета емкости конденсаторов

Еще стоит обращать внимание на качество диэлектрика. Если толщина диэлектрика влияет только на емкость конденсатора, то его качество затрагивает сохранность энергии. Другими словами, конденсатор с качественным диэлектриком будет иметь меньший саморазряд.

Определить качество можно по числу, стоящему возле вещества, чем оно больше, тем лучше качество. Сравнение производится по вакууму, значение которого равно единице.

От чего зависит сопротивление конденсаторов цепей переменного тока

Показатели его, зависят не только от емкостных характеристик последнего, но и от частотной характеристики электротока, протекающего по цепи. Когда речь идет о сопротивлении резистора, то говорится о параметрах самого резистора, например, материале, форме, но полностью отсутствует взаимосвязь сопротивления его и показателей частоты электричества цепи (речь идет об идеальном резисторе, паразитные параметры которому не характерны). Когда речь идет об устройстве накопления энергии и заряда электрического поля — все иначе. Конденсатор одной и той же емкости при разных частотах тока обладает неодинаковым уровнем сопротивления. Амплитуда протекающего через него электричества при постоянной амплитуде напряжения обладает разной величиной.

Рассматривая эту формулу сопротивления конденсатора в цепи переменного тока, к каким выводам можно прийти? При повышении частотных показателей сигнала, электросопротивляемость конденсатора снижается.

При повышении емкостных характеристик устройства для накопления заряда и энергии электрического поля Xc переменного электричества, проходящего сквозь него, будет стремиться вниз.


График, отображающий эту величину конденсатора при непостоянном токе цепи, имеет форму гиперболы

Момент приближения значений частоты к нулевым отметкам на оси (когда переменный электроток становится похож своими параметрами на постоянный), сопровождается возрастанием Xc конденсатора до беспредельных величин. Это действительно так: известно, что конденсатор сети постоянного тока является фактически разрывом цепи. Реальная электросопротивляемость, естественно, не бесконечна, ее ограничивает уровень конденсаторной утечки. Но величины его остаются на высоком уровне, который невозможно не учитывать.

При возрастании цифр частоты до уровня бесконечных значений, емкостное сопротивление электроконденсатора стремится к нулевым отметкам. Такое характеризует идеальные модели. В реальных условиях конденсатор имеет неприятные характеристики (такие как индуктивность и сопротивления утечек), поэтому снижение емкостного сопротивления происходит до определенных значений, после которых оно возрастает.

Обратите внимание! При подключении конденсатора к цепочке электричества с переменными параметрами, его мощность не тратится, потому что фазовые характеристики напряжения и силы тока сдвинуты на 90° в отношении друг друга. В одну четверть периода происходит зарядка электроконденсатора (энергия запасается в его электрополе), в следующее время происходит его разрядка, энергия поступает обратно в цепочку. Его электросопротивляемость является безваттной, реактивной.

Причины ёмкостного сопротивления

Причиной возникновения сопротивления емкостного считается уровень напряжения, возникающий на конденсаторе в процессе его заряда. Вектор его действия встречен вектору напряжения источника электричества, потому создает помеху воспроизведению электротока этим источником.

Как рассчитать Xc

Сила тока цепи с постоянными показателями напряжения в момент работы электроконденсатора равно 0. Ее значения в цепи с переменным напряжением после подключения конденсатора I ? 0. В итоге, цепочке с непостоянным напряжением конденсатор придает Xc меньшее, чем цепочке с неизменным показателем напряжения.


Формула вычисления показателя напряжения за одну секунду


Формула расчета величины силы электротока за мгновение

Получается, что изменения напряжения отличаются по фазе от изменений тока на π/2.

По закону, сформулированному Омом, показатели силы электротока находятся в прямой пропорциональной зависимости от величины напряжения цепи. Формула вычисления наибольших величин напряженности и силы тока:


Наибольшие величины напряженности и силы тока можно рассчитывать по формуле


Окончательная формула расчета емкостного сопротивления в цепи переменного тока

f — показатель частоты непостоянного тока, измеряется в герцах;

ω — показатель угловой частоты тока;

Читайте также:  Правила освобождения от действия электрического тока при его напряжении до 1000 вольт

С — размер конденсатора в фарадах.

Важно! Xc не выступает параметром проводника, оно находится в зависимости от такой характеристики электроцепи, как частота электротока.

Повышение значений данной величины вызывает рост пропускающей способности конденсатора (предел его сопротивления току непостоянному понижается).

Представим, к цепи подключен конденсатор, емкостью 1 мкФ. Необходимо вычислить, уровень емкостного сопротивления при величине частоты 50 Гц и как изменится емкостное сопротивление цепи переменного тока при частоте 1 кГц. Амплитуда напряжения, подведенного к конденсатору, составляет 50 В.

После введения данных в формулу, определяющую Xc, и получаются значения:


Результат для частоты 50 Гц


Результат для 1 кГц

Емкостное сопротивление приравнивается к соотношению отклонений колебаний напряжения зажимов электрической цепочки с емкостными параметрами (с небольшими индуктивным и активным сопротивлениями) к колебаниям электротока цепочки. Она равнозначна электроконденсатору.

В чем измеряется емкостное электросопротивление

R представлено отношением напряжения к силе тока замкнутой электрической цепи, по закону Ома. Единицы измерения — Ом. Xc, как его разновидность, тоже измеряется в Омах.

Конденсаторы применяются при изготовлении фильтров. При параллельном присоединении к цепи, он способен задерживать высокие частоты, при последовательном удаляет низкие. Также они используются с целью отсечения переменной части от постоянной. Он незаменим в радиотехнике, при производстве датчиков приближения, для контроля процессов производства. Технологии, обладающие выше описанными свойствами, используются во всех областях промышленности.

Способы соединения элементов

Монтаж изделия на плату может быть вертикальным или горизонтальным. При использовании нескольких изделий они могут быть соединены между собой разными способами.

Параллельное соединение

Для его организации нужно подключить группу  деталей к электроцепи так, чтобы обкладки всех деталей были подсоединены напрямую к местам включения. Поскольку все компоненты получают заряд от одного источника тока, у них будет одинаковая разность потенциалов. Но так как заряд копится на каждом изделии отдельно, количество электричества на группе можно выразить как сумму количеств на ее деталях.

Это справедливо и для емкостных данных – значение для конфигурации равно сумме значений каждой единицы. Поэтому такую группу можно считать равной одному конденсатору, емкостной параметр которого равен сумме таковых для всех частей.

Последовательное соединение

Эта схема подразумевает соединение устройств одно за другим, когда к местам подключения к цепи подсоединены только два крайних изделия. Количество электричества для каждой детали будет одинаковым. При этом, чем менее емкое устройство, тем большее значение напряжения на нем будет наблюдаться.

Важно! Емкостной показатель такой системы будет еще меньше, чем у устройства, обладающего наименьшим его значением. Соотношение выглядит так: 1/С = 1/С1 + 1/С2 + 1/С3 + … Опираясь на него, можно произвести вывод непосредственно формулы С. Для двух элементов: С = С1*С2 / С1+С2.

Последовательное подключение

Смешанное соединение

Такая сложная конструкция содержит фрагменты с двумя вышеприведенными типами соединений. Чтобы подсчитать полную емкость, схему делят на простые блоки, состоящие только из деталей, соединенных каким-то одним образом. Находят эквивалентные значения для каждого блока и затем рисуют схему заново в упрощенном виде. Рассчитывают  данные для получившейся системы.

Чтобы суметь подобрать подходящий конденсаторный набор, нужно уметь узнавать емкостные данные. Важно также знать, как рассчитывается показатель для конфигурации из нескольких деталей, соединенных между собой тем или иным образом.

Единица и формулы расчёта

Ёмкость в виде электрического свойства, способного хранить заряды, измеряется в фарадах (Ф) и обозначается С. Величина названа в честь английского физика Майкла Фарадея. Конденсатор ёмкостью 1 фарад способен хранить заряд в 1 кулон на пластинах с напряжением 1 вольт. Значение С всегда положительно.

Математическое выражение фарада

Какова емкость конденсатора
Ёмкость конденсатора — постоянная величина, означающая потенциальную способность хранить энергию. Количество заряда, хранимое в отдельно взятый момент, определяется уравнением Q=CV, где V — приложенное напряжение. Таким образом, регулируя напряжение на пластинах, можно увеличивать или уменьшать заряд. Эта формула ёмкости в виде C=Q/V в единичных значениях определяет, в чём измеряется ёмкость конденсатора в СИ, и является математическим выражением фарада.

Специалисты по электронике единицу в один фарад считают не совсем практичной, поскольку она представляет собой огромное значение. Даже 1/1000 F — это очень большая ёмкость. Как правило, для реальных электрических компонентов применяют следующие величины:

  • пикофарад — 10—12 Ф;
  • нанофарад — 10—9 Ф;
  • микрофарад — 10—6 Ф.

Вам это будет интересно  Материал, из какого должен изготавливаться искусственный заземлитель

Диэлектрическая проницаемость

Фактор, благодаря которому изолятор определяет ёмкость конденсатора, называется диэлектрической проницаемостью. Обобщённая формула расчёта ёмкости конденсатора с параллельными пластинами представлена выражением C= ε (A / d), где:

  • А — площадь меньшей пластины;
  • d — расстояние между ними;
  • ε — абсолютная проницаемость используемого диэлектрического материала.

Виды конденсаторов
Диэлектрическая проницаемость вакуума ε0 является константой и имеет значение 8,84х10—12 фарад на метр. Как правило, проводящие пластины разделены слоем изоляционного материала, а не вакуума. Чтобы найти ёмкость конденсатора, пластины которого находятся в воздухе, можно воспользоваться значением ε0. Разницей диэлектрической проницаемости атмосферы и вакуума можно пренебречь, поскольку их значения очень близки.

На практике в формулах нахождения ёмкости конденсатора используется относительная диэлектрическая проницаемость в качестве коэффициента, означающая, насколько электрическое поле между зарядами уменьшается в диэлектрике по сравнению с вакуумом. Некоторые значения этой величины для различных материалов:

  • 1,0006 — воздух;
  • 2,5—3,5 — бумага;
  • 3—10 — стекло;
  • 5—7 — слюда.

Поскольку эффективность конденсатора зависит от применяемого в нём изолятора, его качество как накопителя можно определить через удельную ёмкость — величину, равную отношению ёмкости к объёму диэлектрика.

Практические измерения

Формула расчёта ёмкости конденсатора в зависимости от площади пластин
Значение ёмкости конденсатора обозначается на корпусе в дробных фарадах или с помощью цветового кода. Но со временем компоненты способны потерять свои качества, поэтому для некоторых критических случаев последствия могут быть неприемлемыми. Существуют и другие обстоятельства, требующие измерений. Например, необходимость знать общую ёмкость цепи или части электрооборудования. Приборов, осуществляющих непосредственное считывание ёмкости, не существует, но значение может быть вычислено вручную или интегрированными в измерительные устройства процессорами.

Для обнаружения фактической ёмкости нередко используют осциллограф как средство измерения постоянной времени (т). Эта величина обозначает время в секундах, за которое конденсатор заряжается на 63%, и равна произведению сопротивления цепи в омах на ёмкость цепи в фарадах: т=RC. Осциллограф позволяет легко определить постоянную времени и даёт возможность с помощью расчётов найти искомую ёмкость.

Существует также немало моделей любительского и профессионального электронного измерительного оборудования, оснащённого функциями для тестирования конденсаторов. Многие цифровые мультиметры обладают возможностью определять ёмкость. Эти устройства способны контролируемо заряжать и разряжать конденсатор известным током и, анализируя нарастание результирующего напряжения, выдавать довольно точный результат. Единственный недостаток большинства таких приборов — сравнительно узкий диапазон измеряемых величин.

Более сложные и специализированные инструменты — мостовые измерители, испытывающие конденсаторы в мостовой схеме. Этот метод косвенного измерения обеспечивает высокую точность. Современные устройства такого типа оснащены цифровыми дисплеями и возможностью автоматизированного использования в производственной среде, они могут быть сопряжены с компьютерами и экспортировать показания для внешнего контроля.

Определение энергии конденсатора

Чтобы выяснить, от чего будут зависеть накопительные характеристики, можно применить две методики. Первая – это определение работы, которая выполняется для распределения зарядов на обкладках. Подразумевается, что для этого понадобится затратить определенную энергию. Во втором варианте пользуются притяжением разноименных зарядов. Для перемещения пластин до прямого контакта нужно выполнить соответствующую работу.

Энергия поля плоского конденсатора

Как подобрать конденсатор

Для упрощения можно рассмотреть пример с перемещением разноименно заряженных пластин. Сформированная сила притяжения (F) будет измеряться величиной заряда (q) и напряженностью поля (E) между соответствующими обкладками:

F = q * E.

Так как E = q/(2*e0*S), несложно получить выражение для значения силового взаимодействия:

F = q2/(2*e0*S),

где:

  • e0 – это электрическая постоянная = 8,854 * 10-12 Ф*м-1;
  • S – площадь пластин.

Работа (A) равна произведению силы на пройденное расстояние (d), поэтому W (энергия плоского конденсатора) = A = F * d = d *q2/(2*e0*S). Емкость © определяется, как C = d /(e0*S). Следующими преобразованиями можно получить итоговое выражение:

  • W = q2/(2*C);
  • q = C * U;
  • энергия конденсатора формула:

W = ½ *C * U2.

Ёмкость уединённого проводника

Предположим, что заряженный проводник расположен настолько далеко от всех остальных тел, что взаимодействие зарядов проводника с окружающими телами можно не принимать во внимание. В таком случае проводник называется уединённым.

Потенциал всех точек нашего проводника, как мы знаем, имеет одно и то же значение \varphi , которое называется потенциалом проводника. Оказывается, что потенциал уединённого проводника прямо пропорционален его заряду. Коэффициент пропорциональности принято обозначать 1/C, так что

\varphi = \frac{\displaystyle q}{\displaystyle C \vphantom{1^a}}.

Величина C называется электрической ёмкостью проводника и равна отношению заряда проводника к его потенциалу:

C = \frac{\displaystyle q}{\displaystyle \varphi }. (1)

Например, потенциал уединённого шара в вакууме равен:

\varphi = \frac{\displaystyle kq}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle q}{\displaystyle 4 \pi \varepsilon_0R \vphantom{1^a}},

где q — заряд шара, R — его радиус. Отсюда ёмкость шара:

C=4 \pi \varepsilon_0R. (2)

Если шар окружён средой-диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \varepsilon, то его потенциал уменьшается в \varepsilon раз:

\varphi = \frac{\displaystyle q}{\displaystyle 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon R \vphantom{1^a}}.

Соответственно, ёмкость шара в \varepsilon раз увеличивается:

C=4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon R. (3)

Увеличение ёмкости при наличии диэлектрика — важнейший факт. Мы ещё встретимся с ним при рассмотрении конденсаторов.

Из формул (2) и (3) мы видим, что ёмкость шара зависит только от его радиуса и диэлектрической проницаемости окружающей среды. То же самое будет и в общем случае: ёмкость уединённого проводника не зависит от его заряда; она определяется лишь размерами и формой проводника, а также диэлектрической проницаемостью среды, окружающей проводник. От вещества проводника ёмкость также не зависит.

В чём смысл понятия ёмкости? Ёмкость показывает, какой заряд нужно сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на 1 В. Чем больше ёмкость — тем, соответственно, больший заряд требуется поместить для этого на проводник.

Единицей измерения ёмкости служит фарад (Ф). Из определения ёмкости (1) видно, что Ф = Кл/В.

Давайте ради интереса вычислим ёмкость земного шара (он является проводником!). Радиус считаем приближённо равным 6400 км.

C = 4 \pi \varepsilon_0 R \approx 4 \cdot 3,14 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 6400 \cdot 10^3 \approx 712 \ \ мкФ.

Как видите, 1 Ф — это очень большая ёмкость.

Единица измерения ёмкости полезна ещё и тем, что позволяет сильно сэкономить на обозначении размерности диэлектрической постоянной \varepsilon_0. В самом деле, выразим \varepsilon_0 из формулы (2):

\varepsilon_0 = \frac{\displaystyle C} {\displaystyle 4 \pi R \vphantom{1^a}}.

Следовательно, диэлектрическая постоянная может измеряться в Ф/м:

\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \ \  Ф.

Так легче запомнить, не правда ли?

Энергия заряженного конденсатора

Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится.

Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке. Нетрудно понять, что этой энергией является потенциальная энергия взаимодействия обкладок конденсатора — ведь обкладки, будучи заряжены разноимённо, притягиваются друг к другу.

Мы сейчас вычислим эту энергию, а затем увидим, что существует и более глубокое понимание происхождения энергии заряженного конденсатора.

Начнём с плоского воздушного конденсатора. Ответим на такой вопрос: какова сила притяжения его обкладок друг к другу? Величины используем те же: заряд конденсатора q, площадь обкладок S.

Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд q_0 этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой

F_0 = q_0E_1,

где E_1 — напряжённость поля первой обкладки:

E_1=\frac{\displaystyle \sigma }{\displaystyle 2 \varepsilon _0 \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle q}{\displaystyle 2\varepsilon_0 S \vphantom{1^a}}.

Следовательно,

F_0=\frac{\displaystyle q_0q}{\displaystyle 2 \varepsilon_0 S \vphantom{1^a}}.

Направлена эта сила параллельно линиям поля (т. е. перпендикулярно пластинам).

Результирующая сила F притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил F_0, с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды q_0 второй обкладки. При этом суммировании постоянный множитель q/(2 \varepsilon_0 S) вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все q_0 и дадут q. В результате получим:

F=\frac{\displaystyle q^2}{\displaystyle 2 \varepsilon_0 S \vphantom{1^a}}. (11)

Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величины d_1 до конечной величины d_2. Сила притяжения пластин совершает при этом работу:

A = F(d_1 - d_2).

Знак правильный: если пластины сближаются (d_2 < d_1), то сила совершает положительную работу, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины (d_2 > d_1), то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.

С учётом формул (11) и (7) имеем:

A=\frac{\displaystyle q^2}{\displaystyle 2 \varepsilon_0 S \vphantom{1^a}}\left ( d_1-d_2 \right )=\frac{\displaystyle q^2d_1}{\displaystyle 2\varepsilon_0 S \vphantom{1^a}}-\frac{\displaystyle q^2d_2}{\displaystyle 2\varepsilon_0 S \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle q^2}{\displaystyle 2C_1 \vphantom{1^a}}-\frac{\displaystyle q^2}{\displaystyle 2C_2 \vphantom{1^a}}=W_1-W_2,

где
W_1=\frac{\displaystyle q^2}{\displaystyle 2C_1 \vphantom{1^a}},
W_2=\frac{\displaystyle q^2}{\displaystyle 2C_2 \vphantom{1^a}}

Это можно переписать следующим образом:

A = -(W_2 - W_1) = - \Delta W,

где

W=\frac{\displaystyle q^2}{\displaystyle 2C \vphantom{1^a}}. (12)

Работа потенциальной силы F притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком минус величины W. Это как раз и означает, что W — потенциальная энергия взаимодействия обкладок, или энергия заряженного конденсатора.

Используя соотношение q = CU, из формулы (12) можно получить ещё две формулы для энергии конденсатора (убедитесь в этом самостоятельно!):

W=\frac{\displaystyle qU}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}, (13)

W=\frac{\displaystyle CU^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}. (14)

Особенно полезными являются формулы (12) и (14).

Допустим теперь, что конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \varepsilon. Сила притяжения обкладок уменьшится в \varepsilon раз, и вместо (11) получим:

F=\frac{\displaystyle q^2}{\displaystyle 2 \varepsilon_0 \varepsilon S \vphantom{1^a}}.

При вычислении работы силы F, как нетрудно видеть, величина \varepsilon войдёт в ёмкость C, и формулы (12) — (14) останутся неизменными. Ёмкость конденсатора в них теперь будет выражаться по формуле (10).

Итак, формулы (12) — (14) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора, так и для конденсатора с диэлектриком.

[spoiler title=”Источники”]

  • https://eldomo.ru/stroitelstvo/formuly-kondensatora
  • https://belyaus-kupava.ru/kak-opredelit-yemkostnoye-soprotivleniye-tsepi-peremennogo-toka/
  • https://amperof.ru/teoriya/emkost-kondensatora-formula.html
  • https://rusenergetics.ru/praktika/formula-raschyota-yomkosti-kondensatora
  • https://hmelectro.ru/poleznye_statyi/formula-rascheta-energii-kondensatorov-ploskie-i-zaryazhennye-kondensatory

[/spoiler]

0
Adblock
detector